PERSAMAAN LINGKARAN

Pengertian Lingkaran

Lingkaran itu adalah garis lengkung yang kedua ujungnya berjarak sama dari titik tetap bangun tersebut. Titik tetap yang dimaksud adalah titik pusat lingkaran, sedangkan jarak antara ujung lingkaran dan titik pusat disebut jari-jari lingkaran.

Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan umum lingkaran bisa Quipperian tentukan dengan sangat mudah. Perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa terdapat suatu lingkaran yang berpusat di titik C dengan koordinat (a,b) dan berjari-jari r. Jari-jari merupakan jarak antara titik C dan P. Misalkan titik P(x,y) terletak di keliling lingkaran, sehingga jarak titik P ke pusat lingkaran dirumuskan sebagai berikut.

Persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dengan pusat C(a,b) dan jari-jari r.
Jika dijabarkan lebih lanjut, persamaan di atas akan menjadi:

Nah, persamaan (1) di atas merupakan persamaan umum lingkaran, dengan:

Dengan demikian, pusat dan jari-jari lingkarannya dinyatakan sebagai berikut.

Titik pusat lingkaran

Jari-jari lingkaran

Untuk mengasah kemampuan Quipperian tentang Persamaan Umum Lingkaran, simak contoh soal berikut ini ya!

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!
Pembahasan:
Pertama-tama, Quipperian gambarkan dahulu grafik lingkarannya, yaitu berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y!

Berdasarkan gambar di atas, terlihat bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat (-3,4) dengan jari-jari 3, sehingga diperoleh:

Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di (-3,4) dan menyinggung sumbu-Y adalah 
Pada beberapa kasus, jari-jari lingkarannya tidak diketahui, tetapi garis singgungnya diketahui. Lantas bagaimana menentukan jari-jari lingkarannya? Perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas menunjukkan bahwa garis singgung dengan persamaan px+  qy+ r= 0 menyinggung lingkaran yang berpusat di C(a,b). Untuk jari-jarinya bisa Quipperian tentukan dengan persamaan berikut.

Agar Quipperian lebih paham tentang hubungan antara lingkaran beserta garis yang menyinggungnya, simak contoh soal 2 berikut ini.

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0!
Pembahasan:
Jika diketahui pusat lingkaran (a,b) = (5,1) dan garis singgung lingkarannya 3x– 4y+ 4 = 0, maka jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.

Dengan demikian, persamaan umum lingkarannya adalah sebagai berikut.

Jadi, persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (5,1) dan menyinggung garis 3x– 4y+ 4 = 0 adalah 

Hubungan Dua Buah Lingkaran

Sebelumnya,sudah belajar tentang titik pusat, jari-jari, serta persamaan umum untuk satu buah lingkaran. Bagaimana jadinya jika lingkarannya ada dua?
Misalnya, dua buah lingkaran L₁dengan pusat C₁, jari-jari r1dan lingkaran L₂dengan pusat C₂, jari-jari r₂memiliki hubungan sebagai berikut.

1. L₁ bersinggungan dalam dengan L₂

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, berlaku:

2. L₁ bersinggungan luar dengan L₂

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, berlaku:

3. L₁ di dalam L₂ tanpa bersinggungan

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, berlaku:

4. L₁ saling lepas dengan L₂

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, berlaku:

5. L₁ berpotongan dengan L₂

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, berlaku:

Contoh Soal 3

Tentukan hubungan antara lingkaran  dengan 
Pembahasan:
Pertama-tama, Quipperian harus mencari pusat dan jari-jari kedua lingkaran tersebut.
Jika ditinjau, lingkaran memiliki nilai A= -10, B= 4, dan C= -167, sehingga pusat lingkarannya adalah

Jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.

Jika ditinjau, lingkaran memiliki nilai A= 6, B= -16, dan C= 57, sehingga pusat lingkarannya adalah

Jari-jari lingkarannya dirumuskan sebagai berikut.

Setelah itu, Quipperian bisa menentukan nilai 

Oleh karena 10 < √164 < 18, maka lingkaran L₁berpotongan dengan lingkaran L₂.
Jadi, hubungan antar kedua lingkaran pada soal adalah saling berpotongan.