TRIGONOMETRI

Rumus Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut-sudut berelasi

            Coba kamu bandingkan nilai sin 30^o dengan nilai cos 60^o, atau sin 30^o dengan sin 150^o, atau bagaimana sin 30^o  dengan sin 210^o. Adakah perbandingan trigonometri yang nilainya sama? Adakah perbandingan trigonometri yang nilainya sama tetapi bertanda berlawanan? Dari kenyataan ini, dapat diduga terdapat hubungan antara perbandingan trigonometri sudut-sudut berbagai ukuran.

Sudut-sudut Berelasi

            Diberikan sudut yang ukurannya α. Sudut lain yang ukurannya (90^o  ± α), (180^o  ± α), (270^o  ± α), (360^o ± α), dan –α dikatakan berelasi dengan sudut yang ukurannya α dan sebaliknya.

            Karena sudut yang ukurannya α, (90^o  ± α), (180^o  ± α), (270^o  ± α), (360^o ± α), dan –α terletak di kuadran yang berbeda-beda, maka pengkajian sudut-sudut yang berelasi ini akan dikelompokkan dalam tiap kuadran.

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk α lancip, maka (90° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° − α) = cos α
cos (90° − α) = sin α
tan (90° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) menghasilkan sudut-sudut kuadran II.alam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α

sin (180° − α) = sin α
cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk α lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) menghasilkan sudut kuadran III. Di dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (180° + α) = -sin α          
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α

sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α

Sudut Relasi Kuadran IV

Untuk α lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) menghasilkan sudut kuadran IV. D i dalam trigonometri, relasi sudut-sudut dinyatakan sebagai berikut :

sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = -cot α

sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α
tan (360° − α) = -tan α

Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi (90° ± α) atau (270° ± α), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot

Untuk relasi (180° ± α) atau (360° ± α), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan

Tanda masing-masing kuadran :
Kuadran I (0 − 90°) = semua positif
Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif

Contoh Soal

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

Jika diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
= -tan 37°

Sudut 233° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
= -cos 37°
Perhatikan sin berubah menjadi cos dikarenakan relasi yang dipakai (270° − α)

Sudut 323° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
= cos 37°

Contoh Soal 3

Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘

Jawab :

sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°

Hingga :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1